專利名稱：一種基于群論的對稱桿系結構的可動性判定方法
技術領域：
本發明是一種應用于建筑結構設計和空間結構設計的方法，特別是涉及一種基于群論的對稱桿系結構的可動性判定方法。
背景技術：
近三十年來，可展結構逐漸應用于土木、機械、航天工程等領域，該類結構具有可動自由度，從而可呈現出多種穩定構形。結構的可動性判定，即結構的自應力模態能否傳遞一階剛度使結構幾何穩定，是研究設計可展結構的一個重要環節。Calladine和 Pellegrino提出的幾何穩定性判定方法，可有效應用于自應力模數較低的常規桿系結構； 隨后，羅堯治和陸金鈺考慮了荷載作用下結構的穩定問題，進一步完善了該判定準則。但是，隨著結構逐漸復雜化，結構的自應力模數增長，該判定準則的求解效率顯著下降，甚至無法判定。盡管有學者采用考慮桿件類型、節點受力特點等優化方法，提高結構幾何穩定性判定的效率，但都忽視了結構的固有對稱屬性。對稱桿系結構擁有多個旋轉、鏡像對稱操作，采用基于群集理論的對稱分析方法能充分利用結構對稱性，避免常規判定方法的復雜運算。此外，目前常規的結構穩定性判定方法更加側重于驗證幾何穩定的結構，在張拉整體結構及其他張力體系中具有重要應用價值。在可展結構的設計分析過程中，用常規判定方法探究結構是否為幾何可動(不穩定)時，仍缺乏足夠的說服力。

發明內容
技術問題本發明的目的是提供一種基于群集理論的對稱桿系結構的可動性判定方法，重點解決建筑結構及空間結構中動不定結構的幾何穩定性問題，尤其適用于對稱可展結構的初步設計分析。鑒于常規可動性判定方法探究自應力模態較高的桿系結構時，計算過程復雜， 且難以驗證結構的可動性能，本發明的關鍵技術問題是如何高效準確地確定結構的可動性。技術方案針對以上問題，本發明基于對稱群固有的不可約表示及特征標值，將對稱桿系結構的自由度公式約簡為各類對稱的線性表示，并獲悉機構位移模態及自應力模態的對稱屬性，從而對對稱結構的可動性進行直接判定。技術方案如下一種基于群論的對稱桿系結構的可動性判定方法，步驟1確定待判定對稱桿系結構的所屬對稱群，獲取待判定對稱桿系結構的機構位移模態和自應力模態，所述對稱群包括對稱操作，不可約表示和特征標，步驟2計算各對稱操作下的結構自由度，再將各對稱操作下的結構自由度組成自由度向量，自由度向量rm_s為Γ m_s = M-S = JT-K- η (Τ+R)，
其中向量M和向量S分別是機構位移模數和自應力模數的對稱表示，向量T和向量R分別是剛體平動位移模數和剛體轉動位移模數的對稱表示，向量J和向量K分別是待判定對稱桿系結構的節點和單元的對稱表示，并基于所屬對稱群的特征標，將求得的自由度向量Γm_s約簡為各類不可約表示的線性組合，M-S = Jja^
‘=1 ,Γ (i)為結構所屬對稱群的第i類不可約表示，μ為所屬對稱群的不可約表示的總類型數，第i類不可約表示的系數α i為Cci Jj--YjZHr)-^m-Ar)
h ；^其中，Ii為所屬對稱群的第i類不可約表示Γ⑴的個數，h為所屬對稱群內不同對稱操作的總數，X⑴(Y)為所屬對稱群的第Y類對稱操作下第i類不可約表示的特征標， rffl_s(y)為所屬對稱群的第γ類對稱操作下的結構自由度，步驟3當α i > 0時，Γ(') CM，待判定對稱桿系結構的機構位移模態具有所屬對稱群的第i類不可約表示所對應的對稱屬性；當α i < 0時，Γ( [χ，待判定對稱桿系結構的自應力模態具有所屬對稱群的第i類不可約表示所對應的對稱屬性，進而確定待判定對稱桿系結構的機構位移模態及自應力模態的最高階對稱屬性，步驟4如果機構位移模態的最高階對稱屬性為全對稱，自應力模態的最高階對稱屬性為非全對稱，則自應力模態無法平衡結構的機構位移模態所產生的運動趨勢，將無法傳遞一階剛度，結構是可動的，判定過程結束；如果機構位移模態及自應力模態的最高階對稱屬性均為非全對稱，進入步驟5 ；步驟5根據待判定對稱桿系結構的機構位移模態的最高階對稱屬性，對所屬對稱群進行降階，得到新的待判定對稱桿系結構的所屬對稱群，再重復步驟2、3，得到待判定對稱桿系結構的機構位移模態及自應力模態的最高階對稱屬性，并進入步驟6，對所屬對稱群進行降階采用如下方法使待判定對稱桿系結構沿著所述最高階對稱屬性的機構位移路徑發生小變形，發生小變形后的待判定對稱桿系結構的所屬對稱群為原結構所屬對稱群的子對稱群，步驟6如果機構位移模態的最高階對稱屬性為全對稱，自應力模態的最高階對稱屬性為非全對稱，則自應力模態無法平衡結構的機構位移模態所產生的運動趨勢，將無法傳遞一階剛度，結構是可動的。有益效果本發明的優點在于充分利用結構的固有對稱屬性，無需借助常規判定方法的復雜運算，而僅進行簡單的向量運算及約簡，即可對大部分對稱桿系完成結構的可動性判定。當結構的機構位移模數或自應力模數較大，或結構為高階對稱時，本發明的計算效率提高顯
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者O此外，由于本發明公開的判定方法只需考慮結構的單元拓撲信息和節點相對位置，非常適用于可展結構的初步設計分析，且避免了對具有相同對稱屬性及拓撲的結構進行重復判定計算。


圖1為基于群集理論進行可動性判定的流程圖。圖2為C4v型對稱桿系結構的三維圖。圖3為C4v型對稱桿系結構的平面圖。
具體實施例方式本發明公開了一種基于群集理論的對稱桿系結構的可動性判定方法。對稱桿系結構是由一系列相互鉸接的桿件組成，且節點、單元及邊界約束關于結構中心點存在多個旋轉及鏡像對稱操作。判定方法的具體步驟如下1)分析準備明確待判定結構的幾何模型信息，包括結構各節點的坐標及其編號，各單元的拓撲方式(即各單元兩端連接的節點編號)，以及結構的邊界條件。并根據結構具有的對稱操作，確定待判定結構所屬的對稱群類型。對稱操作是指對原結構進行旋轉、鏡像等有效的操作變換后，結構構形仍不發生變化。當結構只具有η個有效的旋轉對稱操作時，結構所屬對稱群為Cn對稱群；當結構具有η個旋轉對稱操作和具有η個鏡像對稱操作時，結構所屬對稱群為Cnv對稱群。根據群集理論參考書籍(Point-Group Theory Tables)，可查閱得到結構所述對稱群的不可約表示和特征標。2)建立桿系結構的整體力平衡矩陣，計算結構的機構位移模態及自應力模態設結構共有j個自由節點和k個單元，t為結構所處坐標系下的剛體平動位移模數(平面桿系t = 2，空間桿系t = 3)。由各單元的內力與節點外荷載之間的平衡關系，通過常規矩陣集成方法可得到整體結構的力平衡方程HP = F (1)式中，H為整體結構的力平衡矩陣，P為結構的單元內力向量，F為節點外荷載向量。力平衡矩陣H的零空間為結構的自應力模態，且自應力模數s為s = k-r (2)式中，r為力平衡矩陣H的秩。根據虛功原理，位移協調矩陣等于力平衡矩陣H的轉置，且位移協調矩陣的零空間為結構的機構位移模態，機構位移模數m為m = jt-r- η (t+r) (3)式中η為邊界條件影響系數(結構不受任何位移約束時η = 1，否則η = 0)， r為結構所處坐標系下的剛體轉動位移模數(平面桿系r = 1，空間桿系r = 3)。3)計算各對稱操作下的結構自由度，并基于特征標，將求得的自由度向量約簡為不可約表示的線性組合將上式(3)與式⑵相減，即為結構的自由度計算公式，m-s = jt-k- n (t+r) (4)基于群集理論，計算各對稱操作下的結構自由度，并將各對稱操作下的結構自由度組成自由度向量，得到結構自由度的對稱表示Γ m_s為rms = M-S = JT-K- n (T+R) (5)式中向量M和S分別是機構位移模數和自應力模數的對稱表示；向量T和R分別是剛體平動位移模數和剛體轉動位移模數的對稱表示；向量J和K分別是節點和單元的對稱表示，其中任一元素J(Y)、K(Y)為所屬對稱群中第Y類對稱操作下結構不動節點、不動單元的數量。根據所屬對稱群的不可約表示及特征標，結構自由度向量M-S可約簡為各類不可約表示的線性組合
權利要求
1. 一種基于群論的對稱桿系結構的可動性判定方法，其特征在于， 步驟1確定待判定對稱桿系結構的所屬對稱群，獲取待判定對稱桿系結構的機構位移模態和自應力模態，所述對稱群包括對稱操作，不可約表示和特征標，步驟2計算各對稱操作下的結構自由度，再將各對稱操作下的結構自由度組成自由度向量，自由度向量rm_s為rms = M-S = JT-K- η (T+R),其中向量M和向量S分別是機構位移模數和自應力模數的對稱表示，向量T和向量R 分別是剛體平動位移模數和剛體轉動位移模數的對稱表示，向量J和向量K分別是待判定對稱桿系結構的節點和單元的對稱表示，并基于所屬對稱群的特征標，將求得的自由度向量Γ m_s約簡為各類不可約表示的線性組合，M-S = ^aiTio /=1r (i)為結構所屬對稱群的第i類不可約表示，μ為所屬對稱群的不可約表示的總類型數，第i類不可約表示的系數α i為=1.1^.)(7). κ,) h ；^其中，Ii為所屬對稱群的第i類不可約表示Γ ω的個數，h為所屬對稱群內不同對稱操作的總數，X⑴(Y)為所屬對稱群的第Y類對稱操作下第i類不可約表示的特征標， rffl_s(y)為所屬對稱群的第γ類對稱操作下的結構自由度，步驟3當α i > 0時，Γ(') cM，待判定對稱桿系結構的機構位移模態具有所屬對稱群的第i類不可約表示所對應的對稱屬性；當α i < 0時，Γ(') [S，待判定對稱桿系結構的自應力模態具有所屬對稱群的第i類不可約表示所對應的對稱屬性，進而確定待判定對稱桿系結構的機構位移模態及自應力模態的最高階對稱屬性，步驟4如果機構位移模態的最高階對稱屬性為全對稱，自應力模態的最高階對稱屬性為非全對稱，則自應力模態無法平衡結構的機構位移模態所產生的運動趨勢，將無法傳遞一階剛度，結構是可動的，判定過程結束；如果機構位移模態及自應力模態的最高階對稱屬性均為非全對稱，進入步驟5 ； 步驟5根據待判定對稱桿系結構的機構位移模態的最高階對稱屬性，對所屬對稱群進行降階，得到新的待判定對稱桿系結構的所屬對稱群，再重復步驟2、3，得到待判定對稱桿系結構的機構位移模態及自應力模態的最高階對稱屬性，并進入步驟6，對所屬對稱群進行降階采用如下方法使待判定對稱桿系結構沿著所述最高階對稱屬性的機構位移路徑發生小變形，發生小變形后的待判定對稱桿系結構的所屬對稱群為原結構所屬對稱群的子對稱群，步驟6如果機構位移模態的最高階對稱屬性為全對稱，自應力模態的最高階對稱屬性為非全對稱，則自應力模態無法平衡結構的機構位移模態所產生的運動趨勢，將無法傳遞一階剛度，結構是可動的。
全文摘要
本發明公開了一種基于群集理論的對稱桿系結構的可動性判定方法，屬于建筑結構設計和空間結構設計領域，特別適用于可展結構的初步設計。該可動性判定方法基于對稱群固有的不可約表示及特征標值，將對稱桿系結構的自由度公式約簡為各類對稱的線性表示，并獲悉機構位移模態及自應力模態的對稱屬性，從而對對稱結構的可動性進行直接判定。相比常規可動性判定方法未充分利用結構的對稱特性，分析大型結構運算復雜，本發明僅進行簡單的向量運算及約簡，即可對大部分對稱桿系完成可動性判定，便于結構設計人員推廣應用。
文檔編號G06F17/50GK102508978SQ20111036590
公開日2012年6月20日 申請日期2011年11月18日 優先權日2011年11月18日
發明者馮健, 夏仕洋, 陳耀 申請人:東南大學