本發明屬于圖像處理技術領域，具體涉及一種具有明文相關置亂機制的快速混沌圖像加密方法。

背景技術：

近年來，數字圖像已成為人們進行信息交流的重要手段。與此同時，圖像信息在開放網絡環境下的傳輸存在著巨大的安全隱患，因此對圖像信息進行加密至關重要。而在密碼學領域中，現代密碼學中的經典算法已越來越不能滿足日益增長的圖像實時安全傳輸的需求?；煦缋碚摰某霈F為密碼學提供了一個全新的思路?；煦缦到y具有的初值與系統參數極端敏感性、遍歷性、軌道不可預測性以及良好的偽隨機性等一系列與密碼學相契合的優良特性。目前，混沌圖像加密算法已成為圖像信息安全的主流技術和研究熱點，具有極大的應用潛力。

1998年，美國學者Jessica Fridrich首次提出了一種通用的圖像加密架構，該架構通過“置亂”與“擴散”兩個核心模塊實現。在置亂階段，圖像中每個像素點位置以一種偽隨機的方式被打亂；在擴散階段，加密系統更改每個像素點的像素值并將其影響擴散至整個密文圖像。在其后十余年間，世界各國學者以Fridrich所提出的架構為基礎，對基于混沌的數字圖像加密技術已經進行了廣泛深入的研究，取得了諸多成果。與此同時，針對此項技術的密碼學分析工作也蓬勃展開。近年來學者們相繼發現在現有的很多方案中，存在以下共性不足：

(1)混沌系統是一種非線性非周期系統，但經離散化的混沌系統一般不再具有非周期性。這意味著一幅圖像在經離散混沌映射置亂若干輪后，有可能回到其初始狀態，從而失去了置亂的意義。

(2)對于cat、baker以及standard等常用映射，坐標點(0，0)為不動點。為克服此問題，需要對這些不動點進行專門的處理，而這導致了系統的運算量增加。

(3)現有的保面積可逆混沌映射，如cat映射，baker映射以及standard映射，只能應用于正方形圖像。對于更為一般的長方形圖像，必須首先將其轉換為正方形，這同樣增加了系統的運算量。

(4)擴散操作具有較高的計算負載，是影響混沌加密系統整體效率的最主要因素。面對當前越來越多的高分辨率圖像的實時網絡傳輸應用，傳統混沌加密算法所引入的時延是不可忽略的。

技術實現要素：

針對現有技術的不足，本發明提出了一種具有明文相關置亂機制的快速混沌圖像加密方法，其置亂算法基于像素點交換機制，交換目標的位置由logistic混沌映射生成；置亂密鑰，即logistic映射的初始狀態，由明文圖像的City哈希值所確定；基于哈希函數的雪崩特性和混沌系統對初值的極端敏感性，兩幅明文圖像間即使只存在微小的差異，也將產生完全不同的置亂效果；這種與明文相關的置亂方法可有效加速擴散過程，并提高擴散強度；擴散性能分析測試表明，本發明方法通過降低相對耗時的擴散過程所需的迭代輪數，獲得了加密速度的提升。

一種具有明文相關置亂機制的快速混沌圖像加密方法，包括以下步驟：

步驟1、設置logistic映射的控制參數、Lü系統的控制參數和擴散密鑰；

步驟2、按由上至下、由左至右的順序，將待加密圖像每個像素的三個顏色分量的值依次存入一個一維數組中；

步驟3、根據所獲得的待加密圖像一維數組，對明文圖像進行置亂處理，具體如下：

步驟3-1、根據所獲得的待加密圖像一維數組獲得City哈希值；

步驟3-2、根據獲得的City哈希值，設置logistic映射的狀態變量初值；

步驟3-3、根據設置的logistic映射的狀態變量初值和控制參數，預迭代logistic映射使其充分進入混沌狀態；

步驟3-4、正式迭代logistic映射，將每次迭代得到的狀態變量值依次放入一維數組中，獲得logistic映射狀態變量數組，該狀態變量數組的長度為：待加密圖像一維數組的長度-1；

步驟3-5、對logistic映射狀態變量數組進行量化，得到偽隨機置亂序列，該序列中的每個元素表示待交換元素所在位置；

步驟3-6、根據偽隨機置亂序列中每個元素的對應位置，將待加密圖像一維數組中的每一個元素與對應位置的元素相交換，待加密圖像一維數組中最后一個元素不做置亂處理；

步驟4、將置亂處理后的待加密圖像一維數組進行擴散處理，具體如下：

步驟4-1、生成擴散密鑰流序列，該序列的長度為：待加密圖像一維數組的長度；

步驟4-2、根據擴散密鑰流序列，對置亂處理后的待加密圖像一維數組中的每一個元素實施加密；

步驟5、反復執行步驟3至步驟4，進行多輪加密，獲得密文圖像。

步驟3-2所述的根據獲得的City哈希值，設置logistic映射的狀態變量初值，具體公式如下：

x′₀＝hash_p/2³² (1)

其中，x′₀表示logistic映射的狀態變量初值，hash_p表示待加密圖像一維數組P的City哈希值。

步驟3-3所述的根據設置的logistic映射的狀態變量初值和控制參數，迭代logistic映射使其充分進入混沌狀態，具體公式如下：

x′_n+1＝μx′_n(1-x′_n)，x′_n∈[0，1]，μ∈[0，4] (2)

其中，μ表示logistic映射的控制參數，x′_n表示logistic映射第n次迭代的狀態變量值，其初始值為x′₀。

步驟3-5所述的對logistic映射狀態變量數組進行量化，得到偽隨機置亂序列，該序列中的每個元素表示待交換元素所在位置，具體公式如下：

其中，r_n表示待加密圖像一維數組P中元素p_n待交換位置，pos(q_n)函數表示元素q_n在logistic映射狀態變量數組Q＝{q₀，q₁，...，q_3×W×H-2}中的位置，即n；abs(q_n)函數表示元素q_n的絕對值；sig(num，m)函數表示num的前m位有效數字；mod(num₁，num₂)函數表示num₁除以num₂的余數，len(P)表示待加密圖像一維數組P的長度。

步驟4-1所述的生成擴散密鑰流序列，具體如下：

步驟4-1-1、預迭代Lü系統，使其充分進入混沌狀態；

步驟4-1-2、正式對Lü系統進行迭代，將每次迭代獲得的3個狀態變量存入一維數組，獲得Lü系統狀態變量數組，該數組的長度與待加密圖像一維數組相同；

步驟4-1-3、對Lü系統狀態變量數組進行量化，獲得擴散密鑰流序列；

所述的擴散密鑰流序列為K＝{k₀，k₁，...，k_3×W×H-1}，具體公式如下：

k_e＝mod[sig((abs(se)，m)，2⁸]. (4)

其中，k_e表示擴散密鑰流序列中第e個元素，e＝0，1，…，3×W×H-1，W表示待加密圖像的寬度，H表示待加密圖像的高度，sig(num，m)函數表示num的前m位有效數字；mod(num₁，num₂)函數表示num₁除以num₂的余數。

步驟4-2所述的根據擴散密鑰流序列，對置亂處理后的待加密圖像一維數組中的每一個元素實施加密；

加密公式，具體如下：

其中，c_e表示對置亂處理后的待加密圖像一維數組中第e個元素p′_e加密得到的密文值，k_e表示擴散密鑰流序列中第e個元素，e＝0，1，…，3×W×H-1，W表示待加密圖像的寬度，H表示待加密圖像的高度，mod(num₁，num₂)函數表示num₁除以num₂的余數，c_e-1表示前一個元素的密文值，初始值c_-1為取值范圍在[0，2⁸]的整型常量，表示按位異或操作。

本發明優點：

(1)有效解決了目前最為常用的基于保面積可逆混沌映射方法中存在的三個缺陷，即：(a)混沌映射離散化后存在的周期性；(b)存在不動點(0，0)；(c)只能應用于正方形圖像。

(2)通過引入與明文相關的置亂機制，有效加速了擴散過程，并提高了擴散強度。擴散性能分析測試表明，本發明提出的加密方法，通過1輪擴散操作即可獲得理想的NPCR與UACI指標，而對于傳統加密算法，需要2輪擴散操作才能達到理想的NPCR指標、需要3輪擴散操作才能達到理想的UACI指標，即：本發明方法通過降低相對耗時的擴散過程所需的迭代輪數，獲得了加密速度的提升。

附圖說明

圖1為本發明一種實施例的具有明文相關置亂機制的快速混沌圖像加密方法流程圖；

圖2為本發明一種實施例的加密架構示意圖；

圖3為本發明一種實施例的待處理圖像示意圖；

圖4為本發明一種實施例的對圖3進行置亂后的圖像示意圖；

圖5為本發明一種實施例的經置亂一輪、擴散一輪后，得到的加密圖像示意圖；

圖6為本發明一種實施例的參與測試的5幅標準圖像，其中，圖(a)為第一幅圖，圖(b)為第二幅圖，圖(c)為第三幅圖，圖(d)為第四幅圖，圖(e)為第五幅圖；

圖7為本發明一種實施例的圖6的直方圖分析示意圖，其中，圖(a)第一幅圖明文圖像；圖(b)為圖(a)的R分量示意圖，圖(c)為圖(a)的G分量示意圖，圖(d)為圖(a)的B分量示意圖，圖(e)為圖(b)的直方圖，圖(f)為圖(c)的直方圖，圖(g)為圖(d)的直方圖，圖(h)為第一幅圖密文圖像，圖(i)為圖(h)的R分量示意圖，圖(j)為圖(h)的G分量示意圖，圖(k)為圖(h)的B分量示意圖，圖(1)為圖(i)的直方圖，圖(m)為圖(j)的直方圖，圖(n)為圖(k)的直方圖；

圖8為本發明一種實施例的相鄰像素相關性可視化測試結果示意圖，其中，圖(a)為第一幅圖明文圖像的R色彩分量的水平方向相鄰像素相關性；圖(b)為第一幅圖明文圖像的G色彩分量的水平方向相鄰像素相關性；圖(c)為第一幅圖明文圖像的B色彩分量的水平方向相鄰像素相關性，圖(d)為第一幅圖密文圖像的R色彩分量的水平方向相鄰像素相關性，圖(e)為第一幅圖密文圖像的G色彩分量的水平方向相鄰像素相關性，圖(f)為第一幅圖密文圖像的B色彩分量的水平方向相鄰像素相關性；

圖9為本發明一種實施例的密鑰敏感性測試結果示意圖，其中，圖(a)第一幅圖密文圖像，圖(b)為使用正確密鑰對圖(a)解密結果示意圖；圖(c)為使用第一錯誤密鑰對圖(a)解密結果示意圖，圖(d)為使用第二錯誤密鑰對圖(a)解密結果示意圖，圖(e)為使用第三錯誤密鑰對圖(a)解密結果示意圖；圖(f)為使用第四錯誤密鑰對圖(a)解密結果示意圖。

具體實施方式

下面結合附圖對本發明一種實施例做進一步說明。

本發明實施例中，如圖1和圖2所示，具有明文相關置亂機制的快速混沌圖像加密方法，本發明實施例中，不失一般性，如圖3所示，輸入的24位真彩色圖像的大小為W×H，其寬度W＝512，高度H＝512；包括以下步驟：

步驟1、設置logistic映射的控制參數、Lü系統的控制參數和擴散密鑰；

本發明實施例中，將logistic映射的控制參數μ設為4，即：使logistic映射工作在滿射狀態；將Lü系統的控制參數設為a＝36，b＝3，c＝28.7。由加密者設置擴散密鑰，即Lü系統的狀態變量初始值(x₀，y₀，z₀)，(x₀＝-2.7855439058107，y₀＝5.4692814798081，z₀＝9.5754137484743)；

步驟2、按由上至下、由左至右的順序，將待加密圖像每個像素的三個顏色分量的值依次存入一個一維數組中；

本發明實施例中，將待加密圖像像素按由上至下、由左至右的順序展開至一個一維數組中，記為：P＝{p₀，p₁，...，p_3×W×H-1}，其中p₀，p₁，p₂代表第一個像素點的三個顏色分量的值，p₃，p₄，p₅代表第二個像素點的三個顏色分量的值，以此類推；本發明實施例中，P＝{39，46，66，...}；

步驟3、根據所獲得的待加密圖像一維數組，對明文圖像進行置亂處理，具體如下：

步驟3-1、根據所獲得的待加密圖像一維數組獲得City哈希值；

本發明實施例中，計算待加密圖像一維數組P的32位City哈希值，記為hash_p，City哈希為Google公司于2011年發布的一種高效哈希函數；hash_p＝0x8132b810，即十進制的2167584784：

步驟3-2、根據獲得的City哈希值，設置logistic映射的狀態變量初值；

具體公式如下：

x′₀＝hash_p/2³² (1)

其中，x′₀表示logistic映射的狀態變量初值，hash_p表示待加密圖像一維數組P的City哈希值；

本發明實施例中，顯然，x′₀為一取值范圍在(0，1)之間的實數，滿足logistic映射的約束條件。需要說明的是：當logistic的參數μ取4時，0.5和0.75為映射的“不動點”，即狀態變量會在后續迭代中恒定為0和0.75。如果該情況出現，則對x′的值做一個微小的擾動，例如增加或減小0.001；本發明實施例中，x′₀＝2167584784/2³²＝0.504680160433054；

步驟3-3、根據設置的logistic映射的狀態變量初值和控制參數，預迭代logistic映射I₀次(I₀為常量，一般取I₀≥200，本發明實施例中取值為200)，使其充分進入混沌狀態；具體公式如下：

x′_n+1＝μx′_n(1-x′_n)，x′_n∈[0，1]，μ∈[0，4] (2)

其中，μ表示logistic映射的控制參數，x′_n表示logistic映射第n次迭代的狀態變量值，其初始值為x′₀；

步驟3-4、正式迭代logistic映射L_p次，將每次迭代得到的狀態變量值x′_n依次放入一維數組Q＝{q₀，q₁，...，q_3×W×H-2}中，獲得logistic映射狀態變量數組，該狀態變量數組的長度為：待加密圖像一維數組的長度-1；L_p＝len(P)-1，本發明實施例中，len(P)＝512×512×3＝786432，L_p＝786431；

本發明實施例中，logistic映射狀態變量數組Q＝{0.245056765484644，0.740015788699392，0.769569684700036，...}；

步驟3-5、對logistic映射狀態變量數組Q進行量化，得到偽隨機置亂序列R＝{r₀，r₁，...，r_3×W×H-2}，該序列中的每個元素表示待交換元素所在位置；具體公式如下：

其中，r_n表示待加密圖像一維數組P中元素p_n待交換位置，pos(q_n)函數表示元素q_n在logistic映射狀態變量數組Q＝{q₀，q₁，...，q_3×W×H-2}中的位置，即n；abs(q_n)函數表示元素q_n的絕對值；sig(num，m)函數表示num的前m位有效數字；mod(num₁，num₂)函數表示num₁除以num₂的余數，len(P)表示待加密圖像一維數組P的長度；

本發明實施例中，本加密系統在實現時，所有的狀態變量均被定義為雙精度浮點數(64位double型)，根據計算機表達精度，m設為15；由式(3)可知，r_n的取值范圍為[(n+1)，(len(P)-1)]，即：待加密圖像一維數組P中每一個元素的交換目標從其后面的所有元素中(偽)隨機選擇。本發明實施例中，偽隨機置亂序列R＝{236047，206353，180528，...}

步驟3-6、根據偽隨機置亂序列中每個元素的對應位置r_n，將待加密圖像一維數組中的每一個元素p_n與對應位置r_n的元素相交換，待加密圖像一維數組中最后一個元素不做置亂處理；

本發明實施例中，將p₀與p₂₃₆₀₄₇交換，p₁與p₂₀₆₃₅₃交換，p₂與p₁₈₀₅₂₈交換，其余點的交換以此類推；

本發明實施例中，對圖3進行置亂后的圖像如圖4所示；

步驟4、將置亂處理后的待加密圖像一維數組進行擴散處理，具體如下：

步驟4-1、生成長度為L_d＝len(P)的擴散密鑰流序列；具體如下：

步驟4-1-1、預迭代Lü系統I₀次(I₀為常量，一般取I₀≥200，本發明實施例中取值為200)，使其充分進入混沌狀態；

Lü系統公式如下：

其中，x，y，z為系統的狀態變量，a，b，c為系統的控制參數。當a＝36，b＝3，c∈(12.7，17.0)∪(18.0，22.0)∪(23.0，28.5)∪(28.6，29.0)∪(29.334，29.345)時，系統處于混沌狀態。

對方程(4)的求解采用四階龍格-庫塔(Runge-Kutta)法，其公式為：

其中，

(j＝1)

(j＝2，3)

(j＝4)

h為步長，此處取0.005。x_n，y_n，z_n代表從上一組狀態變量x_n-1，y_n-1，z_n-1得到的狀態變量新的當前值；

步驟4-1-2、正式對Lü系統進行迭代，將每次迭代獲得的3個狀態變量x_n，y_n，z_n存入一維數組S＝{s₀，s₁，...，s_3×W×H-1}，獲得Lü系統狀態變量數組，該數組的長度與待加密圖像一維數組相同；

本發明實施例中，Lü系統狀態變量數組S＝{-12.5096110031813，-14.7503285623033，28.2778233337593，...}；

步驟4-1-3、對Lü系統狀態變量數組進行量化，獲得擴散密鑰流序列；

所述的擴散密鑰流序列為K＝{k₀，k₁，...，k_3×W×H-1}，具體公式如下：

k_e＝mod[sig((abs(s_e)，m)，2⁸]. (5)

其中，k_e表示擴散密鑰流序列中第e個元素，e＝0，1，…，3×W×H-1，W表示待加密圖像的寬度，H表示待加密圖像的高度，sig(num，m)函數表示num的前m位有效數字；mod(num₁，num₂)函數表示num₁除以num₂的余數。

本發明實施例中，K＝{197，249，249，...}；

步驟4-2、根據擴散密鑰流序列，對置亂處理后的待加密圖像一維數組中的每一個像素點實施加密；

加密公式，具體如下：

其中，c_e表示對置亂處理后的待加密圖像一維數組中第e個元素p′_e加密得到的密文值，k_e表示擴散密鑰流序列中第e個元素，e＝0，1，…，3×W×H-1，W表示待加密圖像的寬度，H表示待加密圖像的高度，mod(num₁，num₂)函數表示num₁除以num₂的余數，c_e-1表示前一個元素的密文值，初始值c_-1為取值范圍在[0，2⁸]的整型常量，表示按位異或操作；在對像素的加密過程中，由于c_e-1的引入，每一個像素點元素的影響都能被有效地擴散至后續所有的像素點元素中；

用于解密的公式(6)的逆變換為：

本發明實施例中，c_-1設為128，對置亂后的p′₀進行加密，得到的密文值為：

其余像素色彩分量的加密以此類推；

步驟5、反復執行步驟3至步驟4，進行多輪加密，獲得密文圖像。

本發明實施例中，經置亂一輪、擴散一輪后，得到的加密圖像如圖5所示。

加密系統安全性與效率測試分析

對本發明所提出的系統進行全面的安全性能分析與測試并對結果進行分析，以驗證其有效性及性能優勢。具體測試項目包括：

①置亂算法性能分析；

②擴散算法性能分析；

③抗窮舉攻擊(密鑰空間)分析；

④抗統計攻擊分析(包括直方圖，相鄰像素相關性、信息熵)；

⑤密鑰敏感性測試。

為充分表明本發明方法的通用性，圖6中圖(a)至圖(e)為參與測試的圖像共計5幅，全部從國際標準測試圖像庫中選取，圖像為24位真彩色圖像，其大小為512×512像素；

(1)置亂算法性能分析

為測試本發明所提出的與明文相關置亂算法的極限性能，采取如下的步驟：首先選取一幅測試圖像，并構建一幅與其只有一個比特差異的圖像。差異像素的位置、對應的色彩通道以及+1/-1操作，均隨機選定。然后分別對兩幅圖像進行置亂操作，并計算得到的置亂圖像的差異度。對圖6中五幅測試圖像的測試結果如下表1所示。由該表可以看出：兩幅明文圖像間即使只有1個比特的差異，他們對應的City哈希值乃至由其得到的置亂密鑰是完全不同的，因此會產生完全不同的置亂結果。

表1 與明文相關置亂算法性能測試結果

(2)擴散算法性能分析

良好的擴散性能是抵御差分攻擊的有效保障。差分攻擊是選擇明文攻擊中最為常用的一種手段。其基本思路為：攻擊者采用相同的密鑰，加密兩幅具有極其微小差異(例如一個比特)的明文圖像。通過對比得到的兩幅密文圖像，分析出所使用的密鑰流乃至密鑰情況。因此，若一個像素值的微小改變可有效的擴散至整幅密文圖像，則差分攻擊是無效的。

NPCR(number of pixels change rate)與UACI(unified average change intensity)是衡量一個圖像加密系統擴散性能的兩個核心指標。NPCR用于測試兩幅圖像間的差異度。設P₁(i，j)和P₂(i，j)分別表示P₁與P₂兩幅圖像位于(i，j)點的像素值，NPCR的定義為：

D(i，j)的定義為：

對于兩幅純隨機圖像，其NPCR理論值為：

其中L為圖像的色彩深度。例如，對于2幅8位純隨機圖像，其NPCR理論值為99.609％。

UACI用于測試兩幅圖像間的平均差異強度，其定義為：

對于兩幅純隨機圖像，其UACI理論值為：

例如，對于2幅8位純隨機圖像，其UACI理論值為33.464％。

對于一個設計良好的圖像加密系統，其NPCR與UACI指標應盡可能接近理論值。

為了測試極限情況下算法的擴散性能，同樣選取表1中所列出的圖像對參與測試。對每對圖像采用相同的密鑰進行加密，得到的測試結果如表2所示。在表2中同時給出了本發明算法與傳統算法的對比。

表2 NPCR與UACI測試結果

從表2可以看到，本發明所提出加密算法僅需一輪擴散操作即可獲得理想的NPCR與UACI指標，而對于傳統加密算法，需要2輪擴散操作才能達到理想的NPCR指標、需要3輪擴散操作才能達到理想的UACI指標。因此，本發明所提算法具有更高的計算效率。

(3)抗窮舉攻擊(密鑰空間)分析

密鑰空間是指在加密或解密過程中可用的不同密鑰的總量。對于一個安全的加密系統，密鑰空間應該足夠大以使窮舉攻擊(暴力破解)失效。根據現有計算機的運算速度及未來幾年內的發展趨勢，目前密碼學界認為密鑰長度大于100位即可有效抵御窮舉攻擊。本發明所提出的加密系統的密鑰由兩部分組成：置亂密鑰和擴散密鑰。置亂密鑰由原圖像的32位City哈希值決定，擴散密鑰由Lü系統的三個狀態變量初始值組成，本加密系統在實現時，所有狀態變量均定義為雙精度浮點數(64位double型)。根據IEEE浮點數標準，該數據類型的有效精度為53位，因此本發明所提出的加密系統的密鑰長度為32+53×3＝191位。

(4)抗統計攻擊分析

(a)直方圖分析

直方圖直觀的描述了一幅圖像的像素值頻率分布。對于一個設計良好的圖像加密系統，其輸出的密文圖像像素值頻率應服從均勻分布，以隱藏明文信息中的冗余并阻止攻擊者觀測到任何有關明文與密文間關聯的信息。圖7中圖(a)至圖(n)所示，密文圖像的直方圖呈良好的均勻分布，與明文圖像的直方圖間不具備任何關聯性，因此可有效抵御頻率分析。

(b)相鄰像素相關性

對于一個具有明確視覺含義的數字圖像，其每一個像素點在水平、垂直以及對角線方向與其相鄰像素點間均具有很高的相關性。而對于一個設計良好的圖像加密系統，其輸出的密文圖像的相鄰像素間應不具備任何相關性。圖8中圖(a)至圖(f)給出了第一幅圖明文圖像與其密文圖像的三個色彩分量的水平方向相鄰像素相關性可視化測試結果。該測試將一對相鄰像素的像素值作為橫、縱坐標，以點的形式繪制于二維平面上。從測試結果可以看出，對于明文圖像，絕大部分的點都集中在對角線附近，說明相鄰像素間具有極強的相關性。而對于密文圖像，所有點均勻分布于灰度平面上，說明其相鄰像素間已不具有任何相關性。

為了進一步定量衡量與比較明文圖像與密文圖像的相鄰像素相關性，下面計算圖像的相關系數，方法如下：

首先在圖像(的每個色彩分量)的某個相鄰方向上(水平、垂直、對角線)隨機選取5000對相鄰點。然后，利用公式(13)-(15)計算圖像在該方向上的相關系數r_αβ。

其中，α_i和β_i分別為圖像中兩個相鄰點的像素值，N為采樣點的個數。

表3中列出了第一幅圖明文圖像與其密文圖像的三個色彩分量上的相鄰像素的相關系數。從表中可以看到，本發明所提出的加密算法產生的密文圖像，其在各方向上的相關系數均接近于0。

表3 第一幅圖明文與密文圖像的相關系數

(c)信息熵分析

信息熵是表征一個信源隨機性與不可預測性的重要指標。信息熵通常由平均信息量來描述，即表達一個信源中的一個碼元所需的平均比特數，其定義為：

其中φ代表由N個不同碼元構成的信源，為碼元出現的概率。由式(16)可知，對于一個256級灰度的純隨機圖像，其信息熵的理論值為H(φ)＝8。因此對于一個設計良好的圖像加密系統，其輸出的密文圖像的信息熵應盡可能接近于8。

表4給出了利用公式(16)得出的明文圖像與對應的密文圖像的信息熵。從表中可以看到，全部密文圖像的信息熵都極其接近理想值8，這意味著可以將本加密系統輸出的密文圖像看作一個隨機信息源。

表4 明文與密文圖像的信息熵

通過以上三個方面的測試可知，本發明構建的圖像加密系統具有良好的抗統計攻擊能力。

(5)密鑰敏感性測試

密鑰敏感性是加密系統設計的一項基本準則。該屬性要求當應用任意兩個具有極小差異的密鑰加密相同的明文時，將產生完全不同的密文。反之，當攻擊者嘗試使用與加密密鑰極為相近的解密密鑰實施解密時，不能得到任何與明文相關的信息。

在本項測試中，首先隨機選定一組加密密鑰(x′₀＝0.504680160433054，x₀＝9.13375856139019，y₀＝-6.32359246225410，z₀＝2.78498218867048)對第一幅圖明文圖像實施加密，得到的密文圖像如圖9中圖(a)所示。然后對得到的密文圖像分別使用5個解密密鑰進行解密。在5個解密密鑰中，只有第1個與加密密鑰完全相同，而其余4個只在一個狀態變量上與加密密鑰存在一個比特的差異，如表5所示。得到的解密結果如圖9中圖(b)-圖(f)所示。對其它測試圖像可得到相似的結果，這里不再給出。

表5 應用于密鑰敏感性測試的密鑰列表

由以上測試結果可知，本發明提出的圖像加密系統具有良好的密鑰敏感性。