本發明涉及一種功能梯度材料建模方法，特別是涉及一種基于等幾何分析法的功能梯度材料零件建模方法。

背景技術：

文獻“基于從材料空間到幾何空間映射思想的功能梯度材料建模方法，計算機集成制造系統，2009，Vol31(8)，p1864-1869”針對幾何形狀、材料分布復雜的功能梯度材料零件，提出了一種從材料空間到幾何空間映射的建模思想。該方法首先定義梯度材料空間，然后給定從材料空間到幾何空間的映射函數，通過材料組分值和相應的映射函數，確定與給定材料組分值對應的幾何空間。再利用插值算法，計算其他部分的材料信息，最終實現模型幾何信息和材料信息的整體表達，就有數據的簡潔等重要性質。文獻所述方法通過指定無物理意義的三角函數、線性函數等作為幾何空間與材料空間的映射函數，無法適應具有復雜形狀功能梯度零件；當零件邊界材料組分發生變化時，需要重新通過插值算法確定零件內部材料分布狀態，效率不高。

技術實現要素：

為了克服現有功能梯度材料建模方法效率低的不足，本發明提供一種基于等幾何分析法的功能梯度材料零件建模方法。該方法采用泊松方程精確描述零件內部材料分布，并采用張量積NURBS參數體對功能梯度材料零件幾何與材料進行耦合表達，將設計人員指定的材料信息作為邊界條件，通過等幾何分析算法求解上述泊松方程，最終實現功能梯度材料建模。由于泊松方程是一種偏微分方程，其計算域可以是任何復雜幾何空間，因此具有較強的適應性，而等幾何分析法能夠將零件幾何表達與材料空間計算納入統一框架之下，省去了節點插值、模型轉換等環節，提升了材料空間的計算效率。

本發明解決其技術問題所采用的技術方案是：一種基于等幾何分析法的功能梯度材料零件建模方法，其特點是包括以下步驟：

(a)建立功能梯度材料零件內部材料分布數學模型。

功能梯度材料零件內部材料分布狀態抽象為以下數學模型：

其中，A為拉普拉斯微分算子矩陣，f＝[f₁,f₂…f_N]表示組成功能梯度材料零件的N種材料對應的體積分數，b＝[b₁,b₂…b_N]為設計人員控制零件內部材料分布的調整系數，f⁰表示邊界處已知的材料組分信息，Ω指零件幾何空間，指零件幾何空間邊界。

公式(2)為公式(1)中Af＝b的展開表示形式：

由公式(1)和公式(2)得到，功能梯度材料零部件內部第i種材料需滿足：

(b)離散零件幾何空間。

零件幾何區域離散表示為控制頂點以及B樣條基函數的線性加權組合：

式中，r(u,v,w)表示離散后的零件幾何空間，N_i(u),N_j(v),N_k(w)表示由節點矢量U,V,W定義的B樣條基函數，m,n,l表示沿著參數u,v,w三個方向的控制頂點個數，d_ijk表示控制頂點。

(c)采用等幾何分析法進行方程求解并完成建模。

采用加權余量法，在公式(3)材料場平衡方程的兩端同乘上一個權函數w，權函數被理解為材料場的變分，拉普拉斯微分算子簡化表示為原方程轉化為：

通過分步積分和格林公式，得到：

式中，Γ表示幾何空間邊界，其意義與相同，n表示幾何空間邊界處的法向矢量。由于建立的數學模型中不涉及第二類、第三類邊界條件，且在第一類邊界條件處權函數w＝0，因此整理公式(6)得泊松方程等效積分弱形式：

確定等幾何分析中的形狀函數以及權函數w，梯度材料零件內部材料空間由B樣條離散表示為：

式中，被稱為材料體積分數控制變量。將公式(8)代入到公式(7)中得：

式中，[K_ij]和[F_i]分別表示等幾何分析中的剛度矩陣和載荷向量，它們的分量由以下公式計算：

式中，N_i,N_j分別表示形狀函數以及權函數。

對公式(9)表示的線性方程組進行求解，得到零件材料體積分數控制變量代入公式(8)得到零件內部任意材料體積分數。

本發明的有益效果是：該方法采用泊松方程精確描述零件內部材料分布，并采用張量積NURBS參數體對功能梯度材料零件幾何與材料進行耦合表達，將設計人員指定的材料信息作為邊界條件，通過等幾何分析算法求解上述泊松方程，最終實現功能梯度材料建模。由于泊松方程是一種偏微分方程，其計算域可以是任何復雜幾何空間，因此具有較強的適應性，而等幾何分析法能夠將零件幾何表達與材料空間計算納入統一框架之下，省去了節點插值、模型轉換等環節，提升了材料空間的計算效率。

下面結合具體實施方式對本發明作詳細說明。

具體實施方式

本發明基于等幾何分析法的功能梯度材料零件建模方法具體步驟如下：

1、建立功能梯度材料零件內部材料分布數學模型。

以功能梯度材料各組成材料相的體積分數f作為設計變量，零件內部材料分布狀態可以抽象為以下數學模型：

其中，A為拉普拉斯微分算子矩陣，f＝[f₁,f₂…f_N]為組成功能梯度材料零件的N種材料對應的體積分數，b＝[b₁,b₂…b_N]為設計人員控制零件內部材料分布的調整系數，f⁰表示邊界處已知的材料組分信息，Ω指零件幾何空間，指零件幾何空間邊界。

公式(2)為公式(1)中Af＝b的展開表示形式：

由公式(1)和公式(2)可得，功能梯度材料零部件內部第i種材料需滿足：

對于上述數學模型，公式(1)中的f＝f⁰表示泊松方程中的狄利克雷邊界條件，在功能梯度材料零件建模中可解釋為邊界上由設計人指定的材料分布信息，因此被稱為材料邊界條件，又習慣把它稱為本質邊界條件。

2、離散零件幾何空間。

由于具有復雜結構的零件在商業計算機輔助設計軟件內部進行建模時，往往自動生成零件模型的控制頂點以及節點矢量，因此通過軟件二次開發技術導出零件幾何區域的控制頂點以及節點矢量，利用計算機圖形學中的B樣條理論實現零件重構。即零件幾何區域可以離散表示為控制頂點以及B樣條基函數的線性加權組合：

式中，r(u,v,w)表示離散后的零件幾何空間，N_i(u),N_j(v),N_k(w)表示由節點矢量U,V,W定義的B樣條基函數，m,n,l表示沿著參數u,v,w三個方向的控制頂點個數，d_ijk表示控制頂點。通過公式(4)實現了零件幾何區域的離散表示，同時該式也將擴展為后續步驟中材料空間的表示式。

3、采用等幾何分析法進行方程求解并完成建模。

采用加權余量法，在材料場平衡方程(3)的兩端同乘上一個權函數w，權函數可以理解為材料場的變分，拉普拉斯微分算子可以簡化表示為原方程轉化為：

通過分步積分和格林公式，可以得到：

式中，Γ表示幾何空間邊界，其意義與相同，n表示幾何空間邊界處的法向矢量。由于建立的數學模型中不涉及第二類、第三類邊界條件，且在第一類邊界條件處權函數w＝0，因此整理公式(6)可得泊松方程等效積分弱形式：

由于在步驟2中已經實現了幾何區域的B樣條離散表示，因此使用幾何離散表示中引入的B樣條基函數N_i(u),N_j(v),N_k(w)作為等幾何分析的形狀函數以及權函數w，同時在原幾何空間維度上添加材料空間維度，實現梯度材料零件內部材料空間的B樣條離散表示：

式中，被稱為材料體積分數控制變量，公式(4)中幾何形狀控制頂點d_ijk類似。將公式(8)代入到公式(7)中得：

式中，[K_ij]和[F_i]分別表示等幾何分析中的剛度矩陣和載荷向量，它們的分量由以下公式計算：

式中，N_i,N_j分別表示形狀函數以及權函數。

對公式(9)表示的線性方程組進行求解，得到零件材料體積分數控制變量代入公式(8)可得到零件內部任意材料體積分數。

指定零件內部任意點u,v,w，即可通過公式(4)得到零件內部該點對應的幾何空間坐標。公式(8)中的控制變量由公式(9)求解線性方程組得到，因此將u,v,w代入到公式(8)中即可得到該點材料的體積分數,從而實現功能梯度材料零件幾何空間以及材料空間的數學表達，即完成了功能梯度材料零件建模。