本發明涉及一種3-prs串并聯機構等效質量的確定方法，屬于機器人動力學領域。

背景技術：

并聯機器人作為一類機器人，具有精度高、剛度大、速度快和承載能力強等優點。六自由度stewart型并聯機器人已經得到相當充分的研究，已在工程中廣泛應用。少自由度并聯機器人如圖1所示的3-prs（3—自由度數目，p—移動副，r—轉動副，s—球面副）串并聯機構具有結構簡單、控制容易、成本相對較低等并能滿足特殊場合的要求，因此具有廣闊的應用前景。

等效質量是并聯機器人動態性能的一個重要指標，是研究串并聯機器人動力學特性的基礎和主要手段。串并聯機構的分支間相互耦合，每個分支的等效質量/等效轉動慣量都隨著運動平臺的末端位姿、驅動力、不同位置的速度和加速度變化而變化。而3-prs串并聯機構的等效質量隨運動狀態變化非常顯著，末端位姿對等效質量和驅動力的影響很大，等效質量對驅動力的變化非常敏感，在3-prs串并聯機構運動的過程中，末端位姿不斷發生變化，等效質量也隨著變化，確定不同位姿時的等效質量也變得尤為困難。

技術實現要素：

本發明針對在分析串并聯機構動力學特性時等效質量難以確定的問題，提供了一種3-prs串并聯機構等效質量的確定方法。通過工作在轉矩模式下的電機和立柱上的光柵尺計算出廣義力和廣義坐標下的速度和加速度，對所構建的拉格朗日方程求解，進而表述出不同位姿處的等效質量。本發明直觀地反映了3-prs串并聯機構的驅動力、廣義速度和加速度等參量間的相互關系，這對合理規劃路徑、優化結構和控制系統及有效節約能源提供技術指導，促進其在工業生產中的應用，具有重要的學術意義和實用價值。

通過對系統廣義力的求解和調節三個滑塊（16，26，36）的滑動，運用測距光柵尺（19，29，39）測得三個滑塊（（16，26，36））的位移，得到廣義速度與廣義加速度，有效的解決上述問題。

本發明采取的技術方案是這樣實現的：

一種3-prs串并聯機構等效質量的確定方法，其特征在于，具體包含以下步驟：

s1：在靜、動平臺上建立固定和局部坐標系，并選取三根立柱（14、24、34）上滑塊（16、26、36）移動的位移作為廣義坐標值；

s2：用齊次坐標變換和正向運動學描述固定坐標系下滑塊，連桿及動平臺的動能和勢能，得到3-prs串并聯機構總的動能和勢能；

s3：設定伺服電機（11、21、31）工作于轉矩模式下，計算作用在立柱（14、24、34）中滾珠絲杠（13、23、33）的軸向力，進一步用虛功原理求解機構作用在滑塊的系統廣義力；

s4：計算廣義速度和廣義加速度，構建3-prs串并聯機構的拉格朗日方程，求出3-prs串并聯機構中的滑塊（16、26、36）質量、連桿（17、27、37）質量、動平臺4轉動慣量等不變的未知參量，確定移動滑塊（16、26、36）在不同位置時機構的等效質量。

進一步，在步驟s2中，實時計算并檢測滑塊（16、26、36）處于不同位置時動平臺末端位姿在工作空間內部。

進一步，3-prs串并聯機構的廣義速度、加速度由立柱（14、24、34）上的光柵測距尺（19、29、39）測得滑塊（16、26、36）在單位時間內的位移對時間分別求一次和兩次導數計算得到。

進一步，三個滑塊（16、26、36）共要移動不少于段的不同位移。

進一步，三個滑塊（16、26、36）每次移動的位移長度間不能成比例或相等。

更進一步，對于個未知參數的方程，若滑塊（16、26、36）共移動段不同位移，對應方程有唯一確定的解；若移動的位移大于段，采用最小二乘法確定方程最優解。

再進一步，通過所建立的拉格朗日方程，求出個未知參數，把等效質量、、、、、表達出來。

本發明具有的有益效果是：

（1）本發明提供的等效質量確定方法直觀反映了3-prs串并聯機構的動態特性，為路徑規劃、優化設計及控制提供技術指導。

（2）本發明技術方案的步驟s2中，計算動平臺的動能和勢能時，運用了正向運動學，而目前并聯機器人的正向運動學已有成熟的計算方法，便于計算和應用。

（3）本發明技術方案中步驟s3中，廣義力的確定方法容易操作，便于實現。

（4）本發明技術方案中步驟s4中，拉格朗日方程中的廣義速度和廣義加速度的求解方法通過測距光柵尺容易實現，適用性廣。

（5）本發明的方法能用于其它類型串并聯機構等效質量/等效轉動慣量的確定，具有很強的通用性。

附圖說明

圖1是本發明3-prs串并聯機構結構示意圖。

圖2是本發明3-prs串并聯機構運動示意圖。

圖中：1、第一支鏈2、第二支鏈3、第三支鏈

4、動平臺5、固定平臺

11、第一伺服電機21、第二伺服電機31、第三伺服電機

12、第一聯軸器22、第二聯軸器32、第三聯軸器

13、第一滾珠絲杠23、第二滾珠絲杠33、第三滾珠絲杠

14、第一立柱24、第二立柱34、第三立柱

15、第一圓柱鉸25、第二圓柱鉸35、第三圓柱鉸

16、第一滑塊26、第二滑塊36、第三滑塊

17、第一連桿27、第二連桿37、第三連桿

18、第一球鉸28、第二球鉸38、第三球鉸

19、第一測距光柵尺29、第二測距光柵尺39、第三測距光柵尺

具體實施方式

為使本發明的目的、技術方案和有益效果更加清楚，下面將通過實施方式對本發明作進一步的詳細描述。

3-prs串并聯機構結構示意圖如圖1所示。系統由動平臺4、固定平臺5、三個伺服電機（11、21、31）、三個聯軸器（12、22、32）、三個滾珠絲杠（13、23、33）、三根立柱（14、24、34）、三個圓柱鉸（15、25、35）、三個滑塊（16、26、36）、三根連桿（17、27、37）、三個球鉸（18、28、38）、三條測距光柵尺（19、29、39）組成。其中滑塊（16、26、36）在立柱（14、24、34）的豎直導軌上滑動，滑塊（16、26、36）與連桿（17、27、37）通過圓柱鉸（15、25、35）連接，連桿（17、27、37）與動平臺4通過球鉸（18、28、38）連接。

如圖2，動平臺4簡化為三角形、固定平臺5簡化為三角形、三根立柱（14、24、34）簡化為、三根連桿（17、27、37）簡化為，三個滑塊（16、26、36）及三個圓柱鉸（15、25、35）都簡化為。三角形和三角形的外接圓半徑分別為和,為三個滑塊（16、26、36）高度。

在3-prs串并聯機構運動示意圖中，伺服電機（11、21、31）通過聯軸器（12、22、32）與滾珠絲杠（13、23、33）連接，從而帶動滑塊（16、26、36）在三個立柱（14、24、34）的導軌上滑動，通過轉動副使滑塊（16、26、36）與連桿（17、27、37）連接，與動平臺通過球副與三根連桿（17、27、37）相連接，固定平臺和動平臺均為等邊三角形。

分別在固定平臺5和動平臺4上建立固定坐標系和局部坐標系，其中原點在中點處，軸與重合并指向，軸與重合并指向；原點在中心，軸與重合并指向，軸平行于并指向。其中分別是的長度及其與立柱（14、24、34）的夾角。

由于3-prs串并聯機構結構對稱性，故三個滑塊（16、26、36）的質量，三根連桿（17、27、37）的質量，動平臺4繞質心的轉動慣量（其中）。

動平臺4的姿態運動規律由三個所述滑塊（16、26、36）的所述滑塊高度的運動規律確定。為了在機器人動力學特性分析及優化設計方面有進一步的研究，本發明提供了一種3-prs串并聯機構等效質量的確定方法，其過程描述如下：

s1：在靜、動平臺上建立固定和局部坐標系，并選取三根立柱上滑塊（16、26、36）移動的位移作為廣義坐標值；

s2：用齊次坐標變換和正向運動學描述固定坐標系下滑塊，連桿及動平臺的動能和勢能，得到3-prs串并聯機構總的動能和勢能；

s3：設定伺服電機工作于轉矩模式下，計算作用在立柱中滾珠絲杠的軸向力，進一步用虛功原理求解機構作用在滑塊的系統廣義力；

s4：計算廣義速度和廣義加速度，構建3-prs串并聯機構的拉格朗日方程，求出3-prs串并聯機構中的滑塊（16、26、36）質量、連桿（17、27、37）質量、動平臺4轉動慣量等不變的未知參量，確定移動滑塊（16、26、36）在不同位置時機構的等效質量。

在步驟s2中，實時計算并檢測滑塊處于不同位置時的動平臺末端位姿在工作空間內部。

3-prs串并聯機構的廣義速度、加速度由立柱（14、24、34）上的光柵測距尺（19、29、39）測得滑塊（16、26、36）在單位時間內的位移對時間分別求一次和兩次導數計算得到。

三個滑塊（16、26、36）共要移動不少于段的不同位移。

三個滑塊（16、26、36）每次移動的位移長度間不能成比例或相等。

對于個未知參數的方程，若滑塊共移動段不同位移，對應方程有唯一確定的解；若移動的位移大于段，采用最小二乘法確定方程最優解。

通過所建立的拉格朗日方程，求出個未知參數，把等效質量、、、、、表達出來。

確定所構建的拉格朗日方程中未知參數是求解所述等效質量的關鍵，下面以一個簡化的實施例子來進行描述。

建立在靜坐標系下3-prs串并聯機構中各個運動構件的動能和勢能。

滑塊質量為均質，且質心位于豎直立柱上，移動位移為，其速度和加速度分別為和。

構件質量為均質，且質心坐標為，繞質心的轉動慣量為，有：

。

動平臺質量為，質心為，相對于靜坐標系的速度和角速度分別為和，繞質心的慣量矩陣為，實際慣量矩陣中其他量級比主對角線上的小很多，故令。

動平臺上點在動坐標系上的坐標為，質心在坐標系下坐標為，據點在三條支鏈中的機構尺寸表達和轉換矩陣表達相等，可得到下列式子：

。

取為零勢能面，重力加速度為，各個連接部分的摩擦力不計。

則整個機構的動能和勢能可表示為：

（5）

。

構建機構的拉格朗日方程：

為系統的廣義力，為廣義坐標值，為相應廣義坐標的速度。

展開后的拉格朗日方程可表達為：

。

將伺服電機（11、21、31）設置在轉矩模式下，由伺服電機（11、21、31）輸出的轉矩已知，通過聯軸器（12、22、32）的連接，將轉矩換算為滾珠絲杠（13、23、33）上的軸向力，由以下式子可求得滾珠絲杠（13、23、33）的軸向力

其中：——軸向負載，——絲杠的軸向力，——導向件的綜合摩擦系數，——絲杠導程，——進給絲杠的效率，。

進一步運用虛功原理，求得3-prs串并聯機構的系統廣義力。

在步驟s2中，須計算動平臺的末端位姿，即在已知滑塊位移，求解末端的位姿為運動學正解。由于3-prs串并聯機構的正解方程可化簡為一元多次方程，此方程的解存在多組解，故當滑塊移動不同位移時要實時計算并檢測3-prs串并聯機構的末端位姿的解是否存在及合理性，要求滑塊處于不同位置時動平臺末端位姿在工作空間內部。

3-prs串并聯機構的廣義速度、加速度由立柱（14、24、34）上的光柵測距尺（19、29、39）測得滑塊（16、26、36）在單位時間內的位移對時間分別求一次和兩次導數計算得到，以單個支鏈進行說明。

滑塊16在立柱上從起始點滑動到所用的時間，距離為（由光柵測距尺測得），速度為；從滑動到所用的時間，距離為（由光柵測距尺測得），速度為；則和位移段有：

；。

三個滑塊（16、26、36）共要移動不少于段的不同位移。

構建的拉格朗日方程中有個未知參數，要求解這些未知參數，三個滑塊至少共要移動段位移；要使這些方程的系數不存在線性相關，盡可能三個滑塊每次移動的位移長度之間不能成比例或相等。

對于個未知參數的方程，若滑塊共移動段不同位移，對應方程有唯一確定的解；若移動的位移大于段，采用最小二乘法確定方程最優解。

作為一種數學優化技術的最小二乘法求解過程為：

將方程寫成矩陣形式：

其中：為的矩陣，為的列向量，為的列向量，方程的個數大于未知數的個數即，正常該方程無解；在數值領域，計算解出最優解。

通過所建立的拉格朗日方程，求出個未知參數，把等效質量、、、、、表達出來。即

上述給出的求解3-prs串并聯機構等效質量的例子中，是在保證通用性的基礎上做了簡化處理。3-prs并聯機構有很多的變種，在應用的過程中，需要根據串并聯機構的具體結構形式，改寫公式（1）—（9），增加或刪除相應的構建模型，如增加末端執行器（刀具）、增加電機、立柱和連桿數目等。

本發明的方法的特點是：

（1）本發明提供的等效質量計算方法得到了3-prs串并聯機構滑塊移動過程中不同位置下的等效質量，直觀反映了3-prs串并聯機構的動態性能，為路徑規劃及優化設計提供技術指導。

（2）本發明技術方案的步驟s2中，計算動平臺的動能和勢能時，運用了正向運動學，而目前并聯機器人的正向運動學已有成熟的計算方法，便于計算和應用。

（3）本發明技術方案中步驟s3中，廣義速度和廣義加速度的求解方法通過測距光柵尺容易實現，適用性廣。

（4）本發明技術方案中步驟s3中，廣義力是通過設定伺服電機在轉矩模式下計算得到，此方法容易操作，便于實現。

（5）本發明的方法可用于其它類型串并聯機構等效質量/等效轉動慣量的計算，具有很強的通用性。

本發明的應用，解決了3-prs串并聯機構路徑規劃和優化中驅動力的分配問題，有效地節約能源。特別有助于從串并聯機構設計開始階段做到路徑規劃和優化，降低成本，促進3-prs串并聯機構在工業、農業和服務業領域的廣泛應用。而且本發明提供的方法也為其它類型并聯機器人的等效質量/等效轉動慣量研究提供了借鑒，具有良好的社會和經濟效益。

以上所述的詳細說明，只是針對本發明的較佳應用實例而已，僅僅是為方便技術人員能清楚理解，并非對本發明做任何形式上的限制，本領域的技術人員對本發明的技術內容做局部修改，等同變化或修飾，都落在本發明的保護范圍之內。