本發明涉及一種新型的非線性PID控制器，屬于自動控制領域。

背景技術：

韓京清先生在1989年的《控制理論：模型論還是控制論》一文中，首次明確的指出了控制理論的兩種迥然不同的思考方式：模型論和控制論。以受控對象的數學模型為基礎設計合適的控制律是模型論的主要特征，是現代控制理論的基礎。以數學模型為基礎的現代控制理論自誕生之日起以科學發展史上少有的速度和廣度取得了豐碩的研究成果，為控制理論的發展做出了重要貢獻。

雖然現代控制理論給出的控制方法在理論上近乎完美，但至今仍未能占據運動控制航天控制及其他過程控制的主導地位，現代控制理論在這些控制領域顯得“力不從心”。這是由于基于模型的控制理論和方法總是不可避免“未建模動態”和“魯棒性”這對孿生問題。沒有建?，F代控制理論和方法無用武之地，建模又面臨“未建模動態”和“魯棒性”的問題。為解決這對孿生問題，很多學者將神經網絡、學習控制和模糊控制等技術融入現代控制理論之中。雖然這些控制技術能夠解決現代控制理論的“未建模動態”和“魯棒性”的問題，但這些控制技術的引入使得控制器的結構和參數過于復雜。另一方面，復雜和高深的數學知識及專業技能的需求使得控制工程師在設計和維護時，尤其是在控制復雜系統時，顯得的力不從心和缺乏自信，理論和實際之間的距離越來越大，制約了其健康發展。

兩百年來，工業控制技術在現代工業中的各個領域迅速發展，發明創造層出不窮，核心技術不斷更新換代。但仍是以瓦特原理為基礎的PID控制器占據著工業控制界的統治地位。正所謂“存在即合理”，PID控制器以“頑強的生命力”占據工業控制的統治地位必有其獨到之處，即其是標準的無模型控制方法，屬于典型的控制論范疇，控制結構簡單。然而多年的理論分析和實際應用都表明，PID控制器在處理具有強非線性、時變性和具有周期擾動的系統的控制問題時其控制效果不甚理想，還不能完全適應各種工況的需求。為此，很多學者將各種非線性特征引入PID控制設計中改進和豐富傳統的無模型PID控制理論，形成了眾多非線性PID控制理論，如模糊PID控制、神經網絡PID控制、基于遺傳算法PID控制及基于經驗式的非線性函數PID控制等。從理論上講，非線性特性的引入可以為控制過程帶來諸多益處，然而，當非線性為控制器設計提供新的自由度的同時，它也通常帶來理論與應用研究中的復雜度。同時，PID控制器作為底層控制單元，應用模糊推理、神經網絡、遺傳算法及傳統的經驗函數等方法可能并不具備工程實踐的優勢。

技術實現要素：

本發明為了解決現有的傳統PID控制器和現代控制理論的一些問題，提供了一種能夠滿足任意系統、任意初始誤差、任意預設性能的非線性PID控制器和非線性比例反演控制器。

具體技術方案如下：一種新型的非線性PID控制器，包括以下步驟：S1)選擇適當正嚴格單調遞減函數(即性能函數)來保證閉環系統跟蹤性能滿足預設性能的要求；S2)為保證控制器對任意初始誤差的有效性，采用了雙性能函數設計；S3)選擇適當的初等函數并結合性能函數構造出非線性函數以改進傳統的PID控制器，形成非線性PID控制器；S4)為保證PID控制器對復雜系統的有效性，進一步拓展了非線性PID控制器的設計，將其與現代控制理論中的反演法結合起來以形成非線性比例反演控制器；S5)引入Nussbaum函數解決系統輸入飽和受限及控制增益方向未知等問題；S6)從理論上證明了非線性PID的可行性及非線性比例反演控制器的可行性和穩定性；S7)將所發明的控制器應用于純數值系統、Duffing-Holmes系統、直升機系統、機器人系統、近空間高超聲速飛行器系統以及四旋翼飛行器等系統。

以下為本發明的附屬技術方案。

所述步驟S1中，性能函數根據以下公式計算：

ρ(t)＝(ρ₀-ρ_∞)e^-lt+ρ_∞

其中，ρ₀,ρ_∞,l>0為預設定常數,ρ_∞表示預設定的穩態誤差上限,l表征ρ(t)的衰減速度為系統跟蹤誤差的收斂速度下限,ρ₀表示跟蹤誤差超調量的上限。

所述步驟S2中，采用如下的雙性能函數設計使得控制器能夠滿足系統任意初始誤差的要求.

其中，ρ₀′,l′≥0為預設定常數，若參數ρ₀′,l′選擇的足夠大，則控制器能夠滿足系統任意初始誤差的要求且系統的跟蹤性能近似滿足預設函數ρ(t)的限制，即-ρ(t)<z(t)<ρ(t)，其中z(t)為系統的跟蹤誤差即z(t)＝y(t)-y_r(t)，y(t)為系統輸出，y_r(t)為系統參考輸入信號，雙性能函數的設計示意圖如圖1所示。該控制器對初始誤差已知的系統依舊有效，對于初始誤差已知，只需取ρ₀′＝0即可，此時的雙性能函數變為單性能函數。

所述步驟S3中，采用如下的初等函數構建非線性PID控制器，具體為的初等函數Τ(*)可為：

或

基于該初等函數非線性PID控制器結構圖如圖2所示，其中f_p(·)、f_I(·)、f_D(·)為非線性函數即選取的初等函數Τ(*)。該非線性PID控制器的計算形式為：

其中下標P,I,D分別對應比例、積分、微分含義，K_P,K_I,K_D分別為比例、積分、微分環節增益系數。

所述步驟S4中，拓展了非線性PID控制器的設計，將其與現代控制理論中的反演法結合起來以形成非線性比例反演控制器，具體計算公式與步驟為：

系統為多輸入多輸出系統(MIMO)，即m×n階系統，對于單輸入單輸出系統(SISO)控制器依據有效，取n＝1即可)；

雙性性能函數設計為：

初等函數Τ(*)為：

或

其具體的控制器為：

其中ξ_ij＝z_ij(t)/(ρ_ij(t)ρ′_1j(t))，z₁(t)＝y(t)-y_r(t)，z_i(t)＝x_i-α_(i-1)(x₁,…,x_i,t),i＝2,…,m，K_i＝diag{K_i1,…K_in}>0,i＝1,…,m為設計的比例參數。其具體控制結構圖如圖3所示。

所述步驟S5中，采用Nussbaum函數解決系統輸入飽和受限及控制增益方向未知等問題，其具體計算公式為：

z_m+1＝h(v)-u

z_m+1＝[z_(m+1)1,…,z_(m+1)n]^T,h(v)＝[h₁(v₁),…,h_n(v_n)]^T

N(χ)＝diag{N₁(χ₁),…,N_n(χ_n)},χ＝[χ₁,…,χ_n]^T

γ＝diag{γ₁,…,γ_n},

其中K_m+1＝diag{K_(m+1)1,…,K_(m+1)n}>0,為設計的參數，ν為實際控制輸入，u_Mj為輸入飽和受限的上界。

非線性PID控制器可行性分析如下：

考慮如下時變系統

η(0)＝η⁰∈Ω_η

其中，Ω_η為定義的非空開集合；并且函數f:滿足如下條件：(1)關于變量t分段連續，(2)關于變量η∈Ω_η局部Lipschitz，(3)關于變量η∈Ω_η局部可積。如是對于系統(4)則存在如下引理。

引理1對于系統(4)，則在區間t∈[0,τ_max)上，存在唯一的最大解η:[0,τ_max]→Ω_η使得η(t)∈Ω_η,

定理1考慮集合Ω_η∈(-1,1)，對于滿足假設1～2的任一系統，存在唯一的最大解η:[0,τ_max]→Ω_η使得η(t)∈Ω_η,即|η(t)|<1，式(5)所描述的非線性函數始終可實現。

證明：定義對η(t)關于時間t求導可得：

假設y(t)、y_r(t)是關于時間t的連續可微函數，易知ρ(t),ρ′(t)是連續可微的，因此η(t)亦是關于時間t的連續可微的。根據引理1可得：對于滿足假設1～2的系統，存在唯一的最大解η:[0,τ_max]→Ω_η使得η(t)∈Ω_η,證畢

根據上述分析可知，對任一系統，必存在η(t)∈(-1,1)使得非線性函數f_i(·)，i＝P,I,D可實現，即所設計的預設性能控制器理論上可實現。且所設計的控制器繼承了傳統PID控制簡單有效的有點，控制器的設計僅依賴系統的I/O數據，且參數K_P、K_I、K_D只要使系統穩定，則其誤差必滿足預設的動態性能，參數調整更靈活。

非線性比例反演控制可行性及穩定性分析

Step 1.考慮系統(1)的第一個子系統(i＝1)，定義z_1j(t)＝y_j(t)-y_ri(t)，為該子系統選取性能函數且ξ_1j＝z_1j(t)/ρ_1j(t),j＝1,…,n。定義

根據ξ_1j,ξ_2j的定義可得：

其中，是為第二個子系統選取的性能函數，對ξ₁＝[ξ₁₁,…,ξ_1n]^T求導可得：

其中，ρ₁(t)ξ₁＝[ρ₁₁(t)ξ₁₁,…,ρ_1n(t)ξ_1n]^T，ρ₂(t)ξ₂＝[ρ₂₁(t)ξ₂₁,…,ρ_2n(t)ξ_2n]^T，ρ₁′(t)＝diag{1/ρ₁₁(t),…,1/ρ_1n(t)}，

定義

為第一個子系統選取如下Lyapunov函數：

其中ε₁＝[ε₁₁,…ε_1n]^T。從式(17)可知，對|ξ_1j|<1，V₁是嚴格正定可微的。V₁兩邊關于時間t求導可得：

其中由于ρ_1j有界，根據連續函數的極值理論易知對|ξ_1j|<1有Λ₁為正定對角矩陣且每個元素均大于零有界，因此存在未知的正常數使得利用中值定理將F₁(y_r(t)+ρ₁(t)ξ₁,α₁(ξ₁)+ρ₂(t)ξ₂)項描述為：

其中為：

其中,λ_1jl∈(0,1),j,l＝1,…,n，令矩陣Π₁為：

可將進一步表示成：

由于ρ_1j,ρ_2j,y_rj,有界以及非線性函數f_1j(·)連續，對|ξ_1j|<δ_1j,j＝1,…,n，根據極值理論可知存在未知的正常數使得：

對|ξ_1j|<δ_1j,j＝1,…,n，有對任意的非零向量ε₁∈Rⁿ，有同時由于Λ₁,K₁為正對角矩陣，易知矩陣也非奇異且對任意的非零向量ε₁∈Rⁿ，也有由于Τ₁∈R^n×n非奇異，則Τ₁可表述為實對稱矩陣和反實對稱矩陣Τ₁之和，即

其中，易知也非奇異且對任意的非零向量ε₁∈Rⁿ，也有又由于反對稱矩陣Τ₁對角線的元素全為零，易得：

定義由于為是實對稱矩陣，存在未知的常數使得其中，λ_1min,λ_1max分別為矩陣的最小和最大特征值。若ε₁≠0，有可假設存在一個正常數使得進一步可得：

其中如果ε₁滿足||ε₁||>||Λ₁||||Π₁||/σ₁，則因此，閉環系統第一個子系統所有信號一致有界，且存在正常數使得因此，虛擬控制量α₁(x₁,t)也有界。對有|ξ_1j|<1，即|z_1j(t)/ρ_1j(t)|<1。進一步可得對有：

-ρ_j(t)<z_1j(t)<ρ_1j(t),j＝1,…,n

即系統的跟蹤誤差滿足預設的動態和穩態性能需求。為方便下一步設計，對α₁(ξ₁)關于時間t求導可得：

其中，由于|ξ_1j|<δ_1j,j＝1,…,n，可知對必有界。

Step i＝2,…,k-1為第i個子系統選取性能函數且為第i個子系統選取如下Lyapunov函數：

其中ε_i＝[ε_i1,…ε_in]^T。類似Step 1的穩定性分析過程，可得：

如果ε_i滿足||ε_i||>||Λ_i||||Π_i||/σ_i，則因此，閉環系統第i個子系統所有信號一致有界。

Step m控制輸入u(ν)的出現，選取性能函數且類似Step 1的穩定性分析過程，可得：

如果ε_m滿足||ε_m||>||Λ_m||||Π_m||/σ_m，則因此，閉環系統第m個子系統所有信號一致有界，

Step m+1實際控制輸入v的出現

為第m+1個子系統選取如下Lyapunov函數：

并對V_(m+1)j關于時間t求導可得：

式中令兩邊同時乘以并在[0,t]內積分可得:

可知，V_(m+1)j和χ_j有界。進一步可知，V_(m+1),z_m+1,χ有界。

非線性PID控制器用于純數值系統、Duffing-Holmes系統、直升機系統、機器人系統、近空間高超聲速飛行器系統以及四旋翼飛行器等系統。

為驗證所發明的非線性PID控制器的有效性、魯棒性、穩定性及其具有的工程實踐價值，將發明的控制器應用于下述幾個系統，所采用的控制器“型號”完全相同，即相同的結構和參數。仿真時比例、積分、微分環節增益系數均選為：K_P＝4,K_I＝2.5,系統的參考輸入信號均為：y_r(t)＝0.5cos(t)+sin(2t)；跟蹤誤差超調量的上限均為：ν₀＝1，取兩種不同的性能函數進行仿真對比分析，分別選為：ρ(t)＝(1-0.03)e^-t+0.03,ρ′(t)＝1和ρ(t)＝(1-0.01)e^-4t+0.01,ρ′(t)＝1。

數值系統

帶參數擾動的Duffing-Holmes系統

其中h(x,u)＝u³+(2+cos(x₂))u+cos(0.1u)表示控制輸入呈非仿射，p₁(t)＝0.2sin(10t)，p₂(t)＝0.2+0.2cos(5t)，q(t)＝5+0.1cos(t)，w(t)＝0.5+0.1sin(t)是受擾參數。

單連桿機器人系統

其中,M為負載端慣量,m為負載質量,L為連桿長度,q表示負載端角位移；u為電機驅動力矩,為系統的輸入.選取的機器人具體參數為:m＝1,M＝0.5,L＝1,g＝9.8。

受外界擾動的直升機系統

其中k₁＝-1.38,k₂＝-3.33,k₃＝63.09,k₄＝11.65,k₅＝-0.14,Ω＝1200.

高超聲速飛行器系統

其中L＝0.5ρv²SC_L,T＝0.5ρv²SC_T,M_yy＝0.5ρv²Sc[C_M(α)+C_M(q)+C_M(δ_e)],r＝h+R_e，C_T＝0.02318,C_L＝0.6203α,C_M(α)＝-0.035α²+0.036617α+5.3261×10^-6,C_M(q)＝(c/2v)q(-6.796α²+0.3015α-0.2289),C_M(δ_e)＝c_e(δ_e-a)。a,q,v分別表示飛行器的迎角、俯仰角速率和速度，T,D,L,M_yy分別推力、阻力、升力和縱向轉動力矩，m,I_yy,S,μ,R_e分別表示飛行器的質量、縱向轉動慣量，參考氣動面積、重力常數和地球半徑。

為驗證所發明的非線性比例反演控制器具有“天生的”抗擾性和魯棒自適應，將其直接用于雙連桿機器人系統和四旋翼飛行器系統。雙連桿機器人系統為

其中，D₁₁＝a₁+2a₃cosq₂+2a₄sinq₂,D₂₂＝a₂,D₁₂＝D₂₁＝a₂+a₃cosq₂+a₄sinq₂，h＝a₃sinq₂-a₄cosq₂,a₃＝m_el₁l_ce cosδ_e，a₄＝m_el₁l_cesinδ_e,m₁＝1,m_e＝2,l₁＝1,l_c1＝0.5,l_ce＝0.6,I₁＝0.12,I_e＝0.25,δ_e＝30°。若令x₁＝[q₁,q₂]^T,u＝[τ₁,τ₂]^T。實驗時選取的性能函數為：

四旋翼飛行器具有多變量、非線性、強耦合和干擾敏感的特性，飛行控制系統的設計難度較大，具有一定的代表性。令y₁＝x₁＝[φ,θ,ψ]^T,u＝[τ_φ,τ_θ,τ_ψ]^T，四旋翼飛行器系統為：

其中，繞X,Y,Z軸的轉動慣量j_x,j_y,j_z分別為6.23×10^-3Nm·s²/rad,6.23×10^-3Nm·s²/rad和1.12×10^-3Nm·s²/rad，φ,θ,ψ分別表示飛行器的滾轉角、俯仰角和偏航角，τ_φ,τ_θ,τ_ψ分別表示飛行器的滾轉、俯仰和偏航力矩，是控制輸入量，實驗時性能函數選取為：

附圖說明

圖1是本發明實施的雙性能函數設計示意圖。

圖2是本發明實施的非線性PID控制器結構圖。

圖3是本發明實施的非線性比例反演控制器結構圖。

圖4是本發明實施的預設性能為ρ(t)＝(1-0.03)e^-t+0.03,ρ′(t)＝1的純數值系統實驗結果。

圖5是本發明實施的預設性能為ρ(t)＝(1-0.01)e^-4t+0.01,ρ′(t)＝1的純數值系統實驗結果。

圖6是本發明實施的預設性能為ρ(t)＝(1-0.03)e^-t+0.03,ρ′(t)＝1的Duffing-Holmes系統實驗結果。

圖7是本發明實施的預設性能為ρ(t)＝(1-0.01)e^-4t+0.01,ρ′(t)＝1的Duffing-Holmes的系統實驗結果。

圖8是本發明實施的預設性能為ρ(t)＝(1-0.03)e^-t+0.03,ρ′(t)＝1的單連桿機器人系統實驗結果。

圖9是本發明實施的預設性能為ρ(t)＝(1-0.01)e^-4t+0.01,ρ′(t)＝1的單連桿機器人系統實驗結果。

圖10是本發明實施的預設性能為ρ(t)＝(1-0.03)e^-t+0.03,ρ′(t)＝1的直升機系統實驗結果。

圖11是本發明實施的預設性能為ρ(t)＝(1-0.01)e^-4t+0.01,ρ′(t)＝1的直升機系統實驗結果。

圖12是本發明實施的預設性能為ρ(t)＝(1-0.03)e^-t+0.03,ρ′(t)＝1的近空間飛行器系統實驗結果。

圖13是本發明實施的預設性能為ρ(t)＝(1-0.01)e^-4t+0.01,ρ′(t)＝1的近空間飛行器系統實驗結果。

圖14是本發明實施的雙連桿機器人實驗結果(e₁₁＝y_r1-x₁₁)。

圖15是本發明實施的雙連桿機器人實驗結果(e₁₂＝y_r2-x₁₂)。

圖16是本發明實施的四旋翼飛行器系統實驗結果(e₁₁＝φ_r-φ)。

圖17是本發明實施的四旋翼飛行器系統實驗結果(e₁₂＝θ_r-θ)。

圖18是本發明實施的四旋翼飛行器系統實驗結果(e₁₂＝ψ_r-ψ)。

具體實施方式

下面結合附圖對本發明做進一步說明。

如圖1所示，選取雙性能函數

并基于C語言或Matlab程序設計語言實現該性能函數。

如圖2所示，基于Matlab Simulink或C語言編程實現非線性PID控制器。其中非線性函數滿足通過C語言和Matlab程序設計實現該非線性函數，并調用該函數。

如圖3所示，基于Matlab Simulink或C語言編程實現非線性比例反演控制器，其中非線性函數足或通過C語言和Matlab程序設計實現該非線性函數并調用該函數。飽和受限處理函數滿足：

z_m+1＝h(v)-u

z_m+1＝[z_(m+1)1,…,z_(m+1)n]^T,h(v)＝[h₁(v₁),…,h_n(v_n)]^T

N(χ)＝diag{N₁(χ₁),…,N_n(χ_n)},χ＝[χ₁,…,χ_n]^T

γ＝diag{γ₁,…,γ_n},

通過C語言和Matlab程序設計實現該非線性函數并調用該函數。

基于上述編寫的程序對發明的軟件實現，再通過C語言或Matlab程序設計對純數值系統、Duffing-Holmes系統、直升機系統、機器人系統、近空間高超聲速飛行器系統以及四旋翼飛行器的軟件實現，即可實現最終的試驗研究。并將試驗數據保存成相關的文件。

基于C語言或Matlab程序設計編寫程序讀取相關文件中的數據，并編寫繪圖程序即可獲的圖4～圖18的試驗結果。